Distribución de Frecuencias Parte 2

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS PARA VARIABLES 
CUANTITATIVAS DISCRETAS

EJEMPLO:
Dada la siguiente tabla de datos sobre una encuesta entre 50 empleados de una empresa X, sobre el número de hijos en edad escolar que tenía cada empleado a fin de estimar el pago de una bonificación por gastos escolares que proyecta hacer la empresa, realizar:

a) Una tabla de distribución de frecuencias
b) Un diagrama de barras
c) Un diagrama circular

TABLA DE DATOS
NÚMERO DE HIJOS DE CADA EMPLEADO
0
1311211010120115
1
2000102222014410
0
312030130120110


Solución:
TABLA DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS 
Número de Hijos
Xi
frecuencia Absoluta
fi
Frecuencia Absoluta  Acumulada
Fi
Frecuencia relativa Absoluta
fr
Frecuencia relativa Acumulada
Fr
CERO
16
16
16/50 = 0.32 = 32%
0.32 = 32%
UNO
18
34
18/50 = 0.36 = 36%
0.68 = 68%
DOS
9
43
9/50 = 0.18 = 18%
0.86 = 86%
TRES
4
47
4/50 = 0.08 = 8%
0.94 = 94%
CUATRO
2
49
2/50 = 0.04 = 4%
0.98 = 98%
CINCO
1
50
1/50 = 0.02 = 2%
1.00 = 100%
Total
50

100 %


DIAGRAMA DE BARRAS

DIAGRAMA CIRCULAR



TABLA DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS PARA 
VARIABLES CUANTITATIVAS CONTINUAS

Uno de los primeros pasos que se realizan en un estudio estadístico es la de recoger la información ya sea por medios directos o por encuestas y agrupar los datos en una tabla denominada Tabla de distribución de frecuencias, la cual se organiza por categorías mutuamente excluyentes en las que indican el número de observaciones en cada categoría, denominado frecuencia absoluta, y otra serie de informaciones que nos permiten resumir y analizar de forma sencilla los datos a estudiar.



PASOS PARA CONSTRUIR UNA 
TABLA DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS

No hay una regla fija que diga cual es el número de intervalos que debe tener una tabla de distribución de frecuencias, se recomienda que esté entre 5 y 15 intervalos, o podemos tener en cuenta los siguientes pasos para su construcción:
Ejemplo: Puntajes obtenidos por 80 estudiantes en una prueba.

84
88
93
76
75
87
78
68
86
75
75
79
62
61
62
76
83
63
65
76
74
59
65
73
97
73
60
71
79
93
88
94
78
78
57
71
81
62
96
74
75
74
75
71
78
82
69
68
66
75
77
82
65
78
90
62
85
71
61
85
76
79
89
88
72
73
80
60
53
72
60
95
85
67
73
75
95
67
68
63

1. Número de Intervalos: I
Los calculamos usando la fórmula de Sturges:        
I = 1+3.322 Log N
En la que N es el número total de datos, por lo tanto
I = 1 + 3.322 log 80 = 7.3
Esto sugiere que el número de intervalos está alrededor de 7; por lo tanto tomaremos 8 intervalos
2. Rango: R
El Rango es la distancia o recorrido entre el menor valor y el mayor valor, lo calculamos así:
R = Dato Máximo - Dato Mínimo
R = 97 - 53 = 44
3. Amplitud: A
La Amplitud es el tamaño de cada intervalo, se sugiere que sean iguales; la calculamos así:
A = Rango / Número de Intervalos
A = 44/8 = 5.5
La amplitud se toma con el entero siguiente, entonces A = 6
Esto permite ampliar en Rango para que el mayor valor de los datos quede incluido en el último intervalo, de lo contrario quedaría por fuera.
4. Límites de los intervalos
Con la amplitud de 6 y el número de intervalos 8, se tiene entonces un rango más amplio 6 x 8 = 48.
Comparamos el rango inicial de 44 con este nuevo rango de 48 y observamos que  lo supera en 4 unidades, este valor se divide en dos (4/2=2).
Para determinar los límites de los intervalos se procede de la siguiente forma: 
El límite inferior del primer intervalo lo debemos iniciar desde el Dato Mínimo menos dos unidades, es decir 53 - 2 = 51.
El límite inferior del segundo intervalo se calcula sumándole al anterior límite la amplitud; es decir, 51 + 6 = 57.
El limite inferior del tercer intervalo será 57 + 6 = 63 y así hasta completar los demás intervalos.
Nuestro primer intervalo será entonces: [51 - 57).
Esta expresión indica que el límite inferior incluye al 51 y el límite superior no incluye al 57.
Nuestro segundo intervalo será entonces: [57,63] y así sucesivamente...

5. frecuencia absoluta: fi
Contamos cuantos valores quedan dentro de cada intervalo.
Puntaje
frecuencia
fi
51 – 57
1
57 – 63
11
63 – 69
11
69 – 75
14
75 – 81
20
81 – 87
10
87 – 93
6
93 – 99
7
Total
80
Esta tabla presenta una desventaja de agrupación ya que aquí se pierde información, por ejemplo, en el cuarto intervalo se muestra que hay 14 estudiantes que obtuvieron un puntaje entre 69 y 75, pero no se sabe exactamente cuáles son los valores de cada uno de ellos. Esto obliga que para el cálculo posterior de las medidas de tendencia central ya no se trabaje con el intervalo de clase, sino con su promedio llamado marca de clase

6. Frecuencia relativa: Fr
Es la relación entre entre la frecuencia absoluta del intervalo y el total de las frecuencias absolutas multiplicadas por 100.
fr = (fi / N) x 100
6. frecuencia absoluta acumulada: fa
Se puede tomar en dos sentidos:
En forma ascendente contando cuántos datos hay menores que cada limite superior.
En forma descendente contando cuántos datos hay mayores que cada limite inferior.
Por ejemplo, para menor que, observamos que hay 1 puntaje menor que 57 puntos; hay 12 puntajes menores que 63; hay 23 puntajes menores que 69 y así sucesivamente.
Por ejemplo, para mayor que, observamos que hay 80 puntajes mayores que 51; hay 79 puntajes mayores que 57; hay 68 puntajes mayores que 63 y así sucesivamente.

7. Frecuencia relativa acumulada: Fa
Como en el caso anterior, se puede tomar en dos sentidos, menor que cada límite superior o mayor que cada limite inferior; pero en términos de porcentaje.

Puntaje
frecuencia
absoluta
fi
Frecuencia
Acumulada
Fa <
Menor que
Frecuencia
Acumulada
Fa >
Mayor que
Frecuencia
Relativa
fr %

Frecuencia
Relativa acumulada
Fr <
Menor que
Frecuencia
Relativa acumulada
Fr >
Mayor que
51 – 57
1
1
80
1/80=1.25
1.25
100
57 – 63
11
12
79
11/80=13.75
15.0
98.75
63 – 69
11
23
68
11/80=13.75
28.75
85.00
69 – 75
14
37
57
14/80=17.5
46.25
71.25
75 – 81
20
57
43
20/80=25.0
71.25
53.75
81 – 87
10
67
23
10/80=12.5
83.75
28.75
87 – 93
6
73
13
6/80=7.5
91.25
16.25
93 – 99
7
80
7
7/80=8.75
100
8.75
Total
80






Es necesario tener la capacidad de interpretar cada uno de los valores consignados en la tabla.

INTERPRETACIÓN

A manera de ejemplo mostraré la interpretación de cada valor, escrito en rojo en la tabla anterior:

20: Significa que 20 estudiantes obtuvieron un puntaje mayor o igual a 75 y menor 81 puntos
57: Significa que 57 estudiantes obtuvieron un puntaje menor a 81 puntos
43: Significa que 43 estudiantes obtuvieron un puntaje mayor o igual que 75 puntos
25: Significa que el 25% de los estudiantes obtuvieron un puntaje mayor o igual a 75 y menor a 81 puntos
71.25: Significa que el 71.25% de los estudiantes obtuvieron un puntaje menor que 81 puntos
53.75: Significa que el 53.75% de los estudiantes obtuvieron un puntaje mayor o igual que 75 puntos


REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE
HISTOGRAMAS DE FRECUENCIAS 
Y ALGUNAS INTERPRETACIONES

El histograma de frecuencias es un gráfico de área, que tiene por objetivo mostrar la forma de la distribución de los datos. Está compuesto por rectángulos, uno para cada intervalo, unidos por sus lados entre si; la base de los rectángulo está determinada por la amplitud del intervalo de clase y la altura por la frecuencia absoluta o la relativa.
Cuando se representa en el gráfico las frecuencias absolutas, la suma de las áreas de los rectángulos debe ser igual al total de las observaciones.
Cuando se representa en el gráfico las frecuencias relativas, la suma de las áreas de los rectángulos debe ser igual a uno o a 100 cuando están expresadas en porcentaje.
Histograma de frecuencias absolutas

Puntaje
frecuencia
absoluta
fi
51 – 57
1
57 – 63
11
63 – 69
11
69 – 75
14
75 – 81
20
81 – 87
10
87 – 93
6
93 – 99
7
Total
80

INTERPRETACIÓN
Hay 20 estudiantes con un puntaje mayor o igual a 75 y menor que 81 puntos

 Polígono de frecuencias absolutas

Puntaje
frecuencia
absoluta
fi
51 – 57
1
57 – 63
11
63 – 69
11
69 – 75
14
75 – 81
20
81 – 87
10
87 – 93
6
93 – 99
7
Total
80


INTERPRETACIÓN
Hay 20 estudiantes con un puntaje mayor o igual a 75 y menor que 81 puntos

 Histograma de frecuencias relativas

Puntaje
Frecuencia
Relativa
fr %
51 – 57
1/80=1.25
57 – 63
11/80=13.75
63 – 69
11/80=13.75
69 – 75
14/80=17.5
75 – 81
20/80=25.0
81 – 87
10/80=12.5
87 – 93
6/80=7.5
93 – 99
7/80=8.75
Total


INTERPRETACIÓN
El 25% de los estudiantes obtuvieron un puntaje mayor o igual a 75 y menor a 81 puntos

 Polígono de frecuencias relativas

Puntaje
Frecuencia
Relativa
fr %
51 – 57
1/80=1.25
57 – 63
11/80=13.75
63 – 69
11/80=13.75
69 – 75
14/80=17.5
75 – 81
20/80=25.0
81 – 87
10/80=12.5
87 – 93
6/80=7.5
93 – 99
7/80=8.75
Total


INTERPRETACIÓN
El 25% de los estudiantes obtuvieron un puntaje mayor o igual a 75 y menor a 81 puntos

 Histograma de frecuencias acumuladas absolutas Menor que

Puntaje
Frecuencia
Acumulada
Fa <
Menor que
51 – 57
1
57 – 63
12
63 – 69
23
69 – 75
37
75 – 81
57
81 – 87
67
87 – 93
73
93 – 99
80
Total


INTERPRETACIÓN:
57 estudiantes obtuvieron un puntaje menor a 81 puntos

 Ojiva Absoluta Menor que
Puntaje
Frecuencia
Acumulada
Fa <
Menor que
51 – 57
1
57 – 63
12
63 – 69
23
69 – 75
37
75 – 81
57
81 – 87
67
87 – 93
73
93 – 99
80
Total


INTERPRETACIÓN
57 estudiantes obtuvieron un puntaje menor a 81 puntos

 Histograma de frecuencias acumuladas absolutas Mayor que

Puntaje
Frecuencia
Acumulada
Fa >
Mayor que
51 – 57
80
57 – 63
79
63 – 69
68
69 – 75
57
75 – 81
43
81 – 87
23
87 – 93
13
93 – 99
7
Total



INTERPRETACIÓN
43 estudiantes obtuvieron un puntaje mayor o igual a 75 puntos

 Ojiva absoluta Mayor que
Puntaje
Frecuencia
Acumulada
Fa >
Mayor que
51 – 57
80
57 – 63
79
63 – 69
68
69 – 75
57
75 – 81
43
81 – 87
23
87 – 93
13
93 – 99
7
Total


INTERPRETACIÓN
43 estudiantes obtuvieron un puntaje mayor o igual a 75 puntos

 Histograma de frecuencias relativas acumuladas menor que
Puntaje
Frecuencia
Relativa acumulada
Fr <
Menor que
51 – 57
1.25
57 – 63
15.0
63 – 69
28.75
69 – 75
46.25
75 – 81
71.25
81 – 87
83.75
87 – 93
91.25
93 – 99
100
Total



INTERPRETACIÓN
El 71.25 % de los estudiantes obtuvieron un puntaje menor que 81 puntos

 Ojiva relativa menor que
Puntaje
Frecuencia
Relativa acumulada
Fr <
Menor que
51 – 57
1.25
57 – 63
15.0
63 – 69
28.75
69 – 75
46.25
75 – 81
71.25
81 – 87
83.75
87 – 93
91.25
93 – 99
100
Total



INTERPRETACIÓN
El 71.25 % de los estudiantes obtuvieron un puntaje menor que 81 puntos

 Histograma de frecuencias relativas acumuladas Mayor que
Puntaje
Frecuencia
Relativa acumulada
Fr >
Mayor que
51 – 57
100
57 – 63
98.75
63 – 69
85.00
69 – 75
71.25
75 – 81
53.75
81 – 87
28.75
87 – 93
16.25
93 – 99
8.75
Total


INTERPRETACIÓN
El 53.75 % de los estudiantes obtuvieron un puntaje mayor o igual a 75 puntos

 Ojiva relativa Mayor que
Puntaje
Frecuencia
Relativa acumulada
Fr >
Mayor que
51 – 57
100
57 – 63
98.75
63 – 69
85.00
69 – 75
71.25
75 – 81
53.75
81 – 87
28.75
87 – 93
16.25
93 – 99
8.75
Total



INTERPRETACIÓN
El 53.75 % de los estudiantes obtuvieron un puntaje mayor o igual a 75 puntos





PRIMER PARCIAL MIRANDA 2017





 DATOS CUALITATIVOS

Para cada conjunto de datos dado construir:
a) La distribución de frecuencias absolutas
b) La distribución de frecuencias relativas
c) Diagrama de barras absoluto
d) Diagrama de barras relativo
e) Diagrama circular absoluto
f) Diagrama circular relativo

1. Estudio hecho a un grupo de estudiantes sobre su grupo sanguíneo.

A
B
O
A
B
AB
A
O
O
O
O
O
A
O
A
O
B
O
A
B

2. Estado civil de un grupo de personas de una empresa

S
C
D
C
S
C
UL
S
S
C
D
S
C
UL
S
V
C
D
V
C
UL
S
UL
S
C
D
C
D
S
C
S=Soltero              C=Casado              UL=Unión Libre                   D=Divorciado       V=Viudo

3. Encuesta realizada a un grupo de estudiantes sobre cuáles son los libros que mas les gusta leer:
Tipo de libro
Alumnos
Porcentaje
Grados
POESÍA


12
TERROR
24


AVENTURAS

30 %

MISTERIO



TEATRO
12


TOTAL
90



4. Color de los carros en un parqueadero.


NEGRO
BLANCO
ROJO
AZUL
AMARILLO
BLANCO
AMARILLO
BLANCO
VERDE
BLANCO
AZUL
AZUL
ROJO
NEGRO
ROJO
VERDE
ROJO
NEGRO
ROJO
NEGRO
ROJO
NEGRO
AZUL
AMARILLO
AZUL
AMARILLO
BLANCO
VERDE
NEGRO
BLANCO


DATOS CUANTITATIVOS

Para cada conjunto de datos dado:
a) Hallar la distribución de frecuencias absolutas
b) Hallar la distribución de frecuencias relativas
c) Hallar la distribución de frecuencias absolutas acumuladas
d) Hallar la distribución de frecuencias relativas acumuladas
e) Hallar la media, la mediana y la moda
f) Construir un Histograma de frecuencias

1. Estatura en centímetros de un grupo de estudiantes.

175
173
181
169
195
196
177
174
170
168
185
173
170
168
172
179
184
183
176
188
179
177
172
180
193
195
178
187
190
192
188
180
172
169
171
176
184
183
180
179

2. Registro de los saldos de 40 cuentas de ahorros que se abrieron el último mes en Bancafé, en miles de pesos.
179.80
112.17
1150.00
100.00
1009.10
1212.43
470.53
780.00
352.00
1595.10
890.00
1200.00
1482.00
695.15
952.51
510.52
783.00
793.10
937.01
217.00
712.10
293.00
579.00
287.00
1112.52
1394.05
1101.00
501.01
711.41
1202.00
415.00
602.02
1312.52
1175.00
783.00
1390.00
666.66
155.10
1422.03
1273.01
3. Ingreso de un grupo de comerciantes (en miles de pesos)

1380
1380
889
1030
1050
1180
997
1201
920
783
709
883
842
900
1000
950
970
990
1273
753
1350
1290
815
1250
712
850
797
1153
1080
1300

4. Presupuesto de viáticos por concepto de transporte de un grupo de empleados de una empresa (En miles de pesos)
51.02
99.99
73.99
79.99
80.00
63.09
71.11
58.73
61.11
72.14
83.21
50.00
70.00
60.00
65.72
69.99
57.03
92.29
60.00
89.49
81.00
82.22
59.99
89.99
90.00
79.82
77.77
89.99
80.00
69.99

5. Tiempos (en minutos) que tardan 30 estudiantes en terminar un parcial de estadística

42.3
67.7
53.3
63.9
70.1
70.0
52.6
61.9
41.7
39.2
37.2
63.2
45.7
38.9
68.3
69.2
39.2
42.7
52.4
52.5
41.9
58.9
69.1
68.3
64.9
39.2
45.5
55.5
61.2
69.8

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